初中数学几何教学实证研究

唐晶晶 常州市实验初中天宁分校

随着课程改革的深入，初中数学“图形与几何”板块在中考题中的难度上升，因为我们如果对比一下之前的教学目标，就会发现其实“图形与几何”部分主要呈现出来几个新特点：①对学生的逻辑思维能力要求更高，之前是只强调几何图形，现在就更加侧重问题的情境化考察，普遍是强调学生要经历以下几个过程：观察图形，分析问题，探究切入点，抽象出几何图形，逻辑推理。以上几个过程其实更加侧重几何学习中的观察过程和分析推理过程，也逐渐地侧重对问题情境的解读，这其中也是体现出了教育愈发趋向“全面”。②将立体几何和平面几何的一些内容进行了合理结合，比如说，圆锥、圆柱的侧面展开图去和平面几何中的圆的一些内容进行了结合，一方面体现出了现在的教育是不断的生活化，社会化，另一方面其实也是为高中阶段学习立体几何打下了坚实的基础，让学生的空间感不断得到增强。③不仅仅强调学生对于几何图形的认识，更加侧重学生对于几何图形的概念、性质、定理的掌握和论证过程，这就要求老师不仅仅要做好课堂的讲学工作，更要通过课后的辅导让学生对于几何的思维能力不断的得以增强。

通过观察江苏省近五年各市的初中毕业生学业水平数学考试来看，虽然各市试卷总分不一样，但是图形与几何板块的分数占到了总分的35%至41%，那么从数据的角度来看，几何的地位也显得尤为重要。另外，研究一下中考题也会发现，现如今几何板块的难度也在逐渐提高，对教师教学以及学生学习的要求也越来越高，不少地区的压轴题也喜欢考几何问题。由此可知，从某种程度上来说，其实中考数学的几何部分的得分直接会影响到学生之间分数的差距。

如果我们从传统的教育来分析，在小学阶段，学生的数学学习都是以“计算”和“算法”为主，同时也是他们非常擅长的，但是对于几何的学习仅仅是停留于表面的但是从《全日制义务教育数学课程标准》来看，2011年以后对中考数学的几何板块提出的要求是挺高的，这就使得我们教师来重视几何的教学，重视学生几何能力的培养。

研究意义

和“数与代数”板块不一样，由于平面几何问题对于初中生而言初次进行系统学习，很多学生初次学习几何的时候，脑子里是一团乱糟糟。拿到一道几何题目的时候，无法很好的阅读分析题目，将文字语言转化成符号语言，所以一开始的几何思维与几何基础就显得尤为的重要。不断地训练学生的逻辑思维能力，为以后学习更复杂的平面几何问题做了一个很好的铺垫，同时也为了进入高中以后学习立体几何打下了坚实的基础。

从中考应试的角度来看，平面几何板块毕竟占据了35%-40%的分数，学好平面几何，锻炼出良好的逻辑思维能力，也是中考数学致胜的关键。而且我认为，“数与代数”部分，如果学不好，那么教师只需要将某一章节的内容再与学生仔细讲解即可获得很大的提升效果。但是如果说是几何板块出现的问题，那就很严重了，因为几何学习的逻辑性强，前后的连贯性非常紧密，一个环节出现了问题，直接可能会导致整题没有思路。所以，其实对于老师的教学上，几何教学的要求是更高的，在教学的过程中，一定要多加以引导和训练学生的逻辑思维能力。

（一）框架意识

因为我们的逻辑推理并不是漫天乱猜乱想，而是根据已有的知识积累，结合具体的几何情景推测出的一系列思路。这就要求我们在做题之前已经掌握的知识是有条理的，那么框架的意识就显得尤为重要，这是我们培养逻辑推理能力的前提。将已有的定义定理性质在脑海中可以立即浮现出来，那么逻辑推理能力的第一步已经是达到了。

（二）几何阅读能力

黄秋香指出，数学阅读能力是包括了以下几个方面：语言理解能力、语言转换能力、提炼信息能力、阅读推理能力、联想记忆能力、抽象概括能力、有效猜测能力、直觉创新能力、元认知能力。

不少学生读题的时候喜欢跳，喜欢从这上面节约时间，这是万万不可取的，题目读两遍甚至三遍都不算浪费时间，恰恰更有利于我们之后思路的把握。学生已经有了系统的知识储备，接下来就是在几何情境中引导学生去观察，去思考从而锻炼学生的阅读能力，可以让学生在文字语言，符号语言之间自由转换，选择我们所需要的条件，将复杂的语言转化为我们所明了的知识点，比如下文提到的“四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径”这句话转化一下就是：“圆内接四边形对角互补，直径所对圆周角是直角。”

（三）猜想能力

在几何学习中，必要的猜想还是很重要的，比如题目中有“这两条线段之比为多少，请证明”那我们可以去猜一下，两条线段之比是1:1呢还是2:1等等，再比如题目中告诉我们一条边的中点，那么我们就可以去猜一下，会不会还要取另一条边的中点从而构成中位线。根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这个知识点，我们如果在题目中看见了直角三角形斜边中点，那么很自然的会去猜测，是不是要连接顶点和中线呢。

（四）推理论证

在我们已经有了整体的思路的时候，就可以开始进行推理证明了，有两种常用方法：“由因到果”和“执果索因”。当题目条件较多的时候，可以从条件出发一步步去推结论；当题目条件较少的时候，我们可以从结论出发，寻找我们所需要的条件，也就是倒推。不管哪种方法，论证的思路一定要清晰，因为一个命题可能有不止一条性质，我们选择题目中所需要的去写，并且每一步论证都应该是有理有据的。

条件很简单，但是要学会把符号语言转化为文字语言，前两个条件其实就在告诉我们△ABC是个等腰直角三角形，AD=DB在告诉我们，D是AB的中点，要求我们去证明DE=DF。

证明线段相等，我们往往是放在图形中去解决，这边看着DE边所在的△AED和DF边所在的△DFB两个分别是个钝角三角形和锐角三角形肯定不全等，那么给了我们中点，给了我们等腰直角三角形，这个条件可是非常的实在，因为：由等腰三角形和底边中点可以得到三线合一的性质，由直角三角形和斜边中点，我们可以得到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

分析到这里，似乎已经很明朗了，首先就连接CD，这个时候观察图形，ED和DF我们分别放进两个小三角形中，会发现△AED和△CFD猜测应该是全等的，如果能证明出来这两个三角形全等，那么DE和DF自然就能够证出来相等。

那接下来找一下全等的条件，AE和CF相等这是已知，AD和CD相等可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来看。

已知两条对边相等，这个时候要么找夹角相等，要么找第三条边相等，但是我们恰好就是要去证明第三条边相等，自然就只能去找夹角相等。∠A=45°很明显，因为这是个等腰直角三角形，底角是45°。那么∠DCF如何来求度数呢，刚刚我们已经分析出来了，等腰三角形的三线合一这个性质可能会用到，又因为∠ACB=90°是已知的，所以自然会想到，等腰三角形底边中线和顶角的角平分线重合，所以∠DCF=1/2∠ACB=45°。

至此，三角形全等的三个条件已经找出来了，我们利用SAS的判定定理去证明两个三角形全等，进而去证明DE=DF。

全等三角形在初中板块来看也算是学生最先系统学习到的几何图形的证明，一般情况下证明全等只是手段，是为了我们接下来去证明角度之间的关系或者是线段之间的关系做准备的。

不论学习哪个章节，首先脑海里一定要有整个章节的框架图，这样在做题的时候才能看到哪个条件立即想出对应的性质或定理。看到问题能够倒推出所需要的条件，从而很好的将“由因到果”和“执果索因”相结合起来。

本文挑选的两题都是有添加辅助线的过程，辅助线顾名思义就是辅助我们去解题的线段，本文选取的两题都是添加了辅助线的题目，但是这两种辅助线也是常见的两种辅助线，第一种是在等腰三角形中连接顶角的定点和底边的中点从而我们可以合理利用等腰三角形的“三线合一”，另一种是遇到直角三角形，连接直角顶点和斜边中点，因为在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。学生在学习的过程中一定要有意识地去积累各种常见辅助线。

思考几何问题的时候，要始终记得一点：线段或者角度都是在特定的图形中去研究的，题目或许不会直接让你去证明三角形的全等，但是学生自己要有意识地去思考需不需要去寻找全等或者构造全等从而方便我们的解题。

不论是哪门学科的学习，在学习各种技巧的前提一定是对知识点系统的掌握，所以在教授解题技巧，和培养学生逻辑推理能力之前，一定要让学生扎实掌握应该具备的基础理论知识。那么一个很好的方法就是框架思维，把一个个知识点，用框架的形式连接起来，井井有条，层次清晰。

我们不能光从理论知识的角度去培养学生数学能力，缺乏了具体知识为中介的教学和引导都是空洞的，没有价值的。从而我们知道了，在学生学习平面几何的过程中，教师应当有意识地帮助学生主动构建各个板块的知识点框架结构图，重视教材的力量，一切从教材的基础知识点出发，步步深入。

数学知识的逻辑性是很强的，尤其体现在几何问题中，本文通过案例分析，有利于培养学生对图形的认识，一步一步地严谨地推理，不论是“由因到果”还是“执果索因”，还是两者相结合，都是我们在思考的过程中需要注意的，当题目条件很少的时候，从条件出发得到的有用信息不多，那么我们就可以用“逆推法”来从结论出发寻找我们所需要的条件。但是在推理证明书写的过程中，我们还是要从条件出发来证明结论。

最后，几何的学习并不是一件容易的事情，那么教师的鼓励对于学生而言，也是显得尤为重要，作为教师应当帮助学生建立起学习的信心，这样才能让他们在学习中乘风破浪。